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109學年鷺江國中第2次段考數學 第4題 詳解

角平分線尺規作圖敘述錯誤判斷 · 單選 · 題目出處：109 學年度第 2 學期第 2 次定期評量 數學科（新北市立鷺江國民中學）

題目
下圖（三）是依照下列步驟所完成的圖形。
( 1 ) 任意畫一個∠A\angle A。
( 2 ) 以A點為圓心，適當長為半徑畫弧，交∠A\angle A兩邊於B、C兩點。
( 3 ) 分別以B、C為圓心，大於12BC‾\dfrac{1}{2}\overline{BC}的相同長度為半徑畫弧，設兩弧相交於P點。
( 4 ) 連接AP→\overrightarrow{AP}。
根據作圖步驟與畫出來的圖，下列敘述何者錯誤？
( A ) AP‾=BP‾\overline{AP}=\overline{BP}
( B ) BP‾=PC‾\overline{BP}=\overline{PC}
( C ) ∠BAP=∠CAP\angle BAP=\angle CAP
( D ) AB‾=AC‾\overline{AB}=\overline{AC}
由A點出發的兩條黑色射線構成一個角，分別向右上、右下延伸並超出B、C兩點；A點旁標紅字(1)。B點與C點之間有一道紅色弧線連接兩射線（標示(2)）。另外，以B、C為圓心各畫一道紅色弧線，兩弧在角內交於一點P，該交點以紅色×記號標出，兩道弧線分別標示(3)（上）與(3)（下）。由A延伸出一條紅色射線通過P點並向右延伸至角外，標示(4)。下方標註「圖（三）」。

答案(A)看逐步解析 ↓

逐步解析

  1. 1

    同圓心同半徑的邊

    步驟(2) 以 AA 為圓心、同一個半徑畫弧交兩邊於 BB、CC，所以 AB‾=AC‾\overline{AB}=\overline{AC}，(D) 的敘述成立。
  2. 2

    兩弧半徑相同的邊

    步驟(3) 分別以 BB、CC 為圓心、用相同長度為半徑畫弧交於 PP，所以 BP‾=CP‾\overline{BP}=\overline{CP}，(B) 的敘述成立。
  3. 3

    全等推出角相等

    在 △ABP\triangle ABP 與 △ACP\triangle ACP 中，AB‾=AC‾\overline{AB}=\overline{AC}、BP‾=CP‾\overline{BP}=\overline{CP}、AP‾=AP‾\overline{AP}=\overline{AP}（共用邊），三邊對應相等，由 SSS 得 △ABP≅△ACP\triangle ABP\cong\triangle ACP，對應角 ∠BAP=∠CAP\angle BAP=\angle CAP，(C) 的敘述成立，AP→\overrightarrow{AP} 正是 ∠A\angle A 的角平分線。
  4. 4

    剩下的那個沒有根據

    只剩 (A) 的 AP‾=BP‾\overline{AP}=\overline{BP}。AP‾\overline{AP} 與 BP‾\overline{BP} 是 △ABP\triangle ABP 的兩條不同邊，作圖過程沒有任何一步讓它們相等：步驟(3) 只要求半徑大於 12BC‾\dfrac{1}{2}\overline{BC}，半徑取得越大，PP 離 AA 越遠、AP‾\overline{AP} 越長，BP‾\overline{BP} 也跟著改變，兩者不會恆相等。故選 (A)。
答案
(A)

關鍵觀念：#角平分線 #尺規作圖 #全等三角形

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常見卡點
作圖題要把每一個「用同一個半徑」的地方圈出來，等長關係就自己浮現：同圓心同半徑畫出的 AB 與 AC 相等，以 B、C 為圓心用相同半徑畫出的 BP 與 CP 相等。最常見的錯是看到 AP 把 P 和 A 連起來，就以為它也是某一條半徑而跟著相等；其實 P 到 A 的距離完全由步驟三取的半徑決定，和 BP 無關。

還是卡住嗎？

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