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110學年新莊國中第3次段考數學 第13題 詳解

內心分割三角形的面積比 · 單選 · 題目出處：110 學年度第 1 學期第 3 次定期評量 數學科（新北市立新莊國民中學）

題目
已知I點為△ABC的內心，若∠A=90°，AB‾=12\overline{AB}=12，AC‾=16\overline{AC}=16，則△AIB面積：△BIC面積：△AIC面積=?
(A) 1:2:31:2:3　(B) 3:4:53:4:5 (C) 3:5:43:5:4　(D) 4:5:64:5:6

答案(C)看逐步解析 ↓

逐步解析

  1. 1

    內心到三邊等距

    內心 II 到三邊的距離都等於內切圓半徑 rr。<br>△AIB、△BIC、△AIC 分別以 AB‾\overline{AB}、BC‾\overline{BC}、AC‾\overline{AC} 為底，高都是 rr。
  2. 2

    面積比就是底的比

    高相同，面積比等於底的比：<br>△AIB：△BIC：△AIC =AB‾:BC‾:AC‾=\overline{AB}:\overline{BC}:\overline{AC}。<br>∠A=90∘\angle A=90^\circ，由商高定理 BC‾=122+162=400=20\overline{BC}=\sqrt{12^2+16^2}=\sqrt{400}=20。
  3. 3

    化簡比

    AB‾:BC‾:AC‾=12:20:16=3:5:4\overline{AB}:\overline{BC}:\overline{AC}=12:20:16=3:5:4，故選 (C)。
答案
(C)

關鍵觀念：#三角形 #內心 #面積比 #商高定理

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常見卡點
最常見的錯是把三邊由小到大排成 12:16:2012:16:20，化簡為 3:4:53:4:5 而誤選 (B)。題目要求的順序是 △AIB、△BIC、△AIC，要對應 AB‾\overline{AB}、BC‾\overline{BC}、AC‾\overline{AC}，中間那塊用的是斜邊 2020，所以是 3:5:43:5:4。寫比之前先把三個三角形各自的底邊標出來再對應。

還是卡住嗎？

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