110學年新莊國中第3次段考數學 第7題 詳解

答案(D)看逐步解析 ↓

逐步解析

1. 1

   看出四個圖的共同點

   由圖，四個小圖中，另一個正方形都有一個頂點恰好落在 $O$，從 $O$ 出發的兩邊夾 $90^\circ$；不同的只是轉的角度。<br>$O$ 是另一個正方形兩對角線的交點，也就是它的中心。兩個正方形相同，從 $O$ 出發的兩邊夠長，一定會穿過正方形的邊。
2. 2

   A2、A4 直接看

   $A_2$：兩邊與正方形的邊平行，重疊部分是正方形被兩條對邊中點連線切成的四塊之一，面積是 $\dfrac14$。<br>$A_4$：兩邊沿著兩條對角線，重疊部分是 $O$ 與右側兩頂點圍成的三角形；兩條對角線把正方形分成四個全等三角形，所以也是 $\dfrac14$。
3. 3

   一般情形：找全等

   對 $A_1$、$A_3$：設斜放正方形從 $O$ 出發的兩邊交正方形的邊於 $P$、$Q$，$P$、$Q$ 分別在頂點 $K$ 兩側的兩邊上，$P$ 所在邊的另一端點為 $T$。連 $\overline{OT}$、$\overline{OK}$。<br>在 △OTP 與 △OKQ 中：<br>$\overline{OT}=\overline{OK}$（正方形對角線互相平分且等長）；<br>$\angle OTP=\angle OKQ=45^\circ$（對角線平分直角）；<br>$\angle TOP=90^\circ-\angle POK=\angle KOQ$，因為 $\angle TOK=\angle POQ=90^\circ$。<br>所以 △OTP ≅ △OKQ（ASA 全等）。
4. 4

   面積都等於四分之一

   重疊部分 $=$ △OPK $+$ △OKQ $=$ △OPK $+$ △OTP $=$ △OTK，而 △OTK 是正方形的 $\dfrac14$。<br>所以 $A_1=A_2=A_3=A_4=\dfrac14$ 正方形面積，(A)(B)(C) 的大於都不成立，(D) $A_2=A_4$ 正確，故選 (D)。

關鍵觀念：#正方形 #旋轉 #重疊面積 #全等

同主題一起複習：平面幾何 →