111學年鷺江國中第3次段考數學 第2題 詳解

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逐步解析

1. 1

   外心給了什麼條件

   外心是三角形三邊中垂線的交點，也是外接圓的圓心，因此它到三個頂點的距離相等。設外心為 $O$，則 $\overline{OA}=\overline{OB}=\overline{OC}$。題目說 $O$ 恰好落在某一邊上，就把這個位置條件和「三段等長」一起用。
2. 2

   外心在邊上代表什麼

   不妨設 $O$ 落在邊 $\overline{BC}$ 上。因為 $\overline{OB}=\overline{OC}$，而且 $O$ 就在線段 $\overline{BC}$ 上，所以 $O$ 正是 $\overline{BC}$ 的中點。再加上 $\overline{OA}=\overline{OB}=\overline{OC}$，可知 $\triangle OAB$ 與 $\triangle OAC$ 都是等腰三角形。
3. 3

   用等腰算出頂角

   由 $\overline{OA}=\overline{OB}$，$\triangle OAB$ 的兩底角相等，設 $\angle OAB=\angle OBA=x$；由 $\overline{OA}=\overline{OC}$，設 $\angle OAC=\angle OCA=y$。在 $\triangle ABC$ 中，$\angle BAC=x+y$、$\angle B=x$、$\angle C=y$，三內角和為 $180°$，得 $(x+y)+x+y=180°$，所以 $x+y=90°$，即 $\angle BAC=90°$。
4. 4

   對照外心三種位置

   外心的位置正好反映三角形的形狀：銳角三角形的外心在三角形內部，鈍角三角形的外心在三角形外部，直角三角形的外心恰好是斜邊的中點，也就是落在邊上。上面算出 $\angle BAC=90°$，與這個規則完全吻合。所以外心恰位於一邊上的三角形必為直角三角形，故選 (B)。

關鍵觀念：#外心 #三角形形狀判斷

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