111學年鷺江國中第3次段考數學 第6題 詳解

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逐步解析

1. 1

   先求出 ∠BIC

   在 $\triangle ABC$ 中，$\angle A=180°-68°-60°=52°$。$I$ 是內心，所以 $\overline{BI}$、$\overline{CI}$ 分別平分 $\angle ABC$ 與 $\angle ACB$，得 $\angle IBC=\dfrac{68°}{2}=34°$、$\angle ICB=\dfrac{60°}{2}=30°$。在 $\triangle IBC$ 中，$\angle BIC=180°-34°-30°=116°$。
2. 2

   外心給三段等長

   $O$ 是 $\triangle IBC$ 的外心，所以 $O$ 到 $I$、$B$、$C$ 的距離都相等：$\overline{OI}=\overline{OB}=\overline{OC}$。由圖可以看到 $O$ 落在 $\overline{BC}$ 的下方，也就是和 $I$ 分處 $\overline{BC}$ 的兩側，因此連 $\overline{OI}$ 時會穿過 $\overline{BC}$，射線 $IO$ 夾在射線 $IB$ 與射線 $IC$ 之間。
3. 3

   拆成兩個等腰三角形

   因 $\overline{OI}=\overline{OB}$，$\triangle OIB$ 是等腰三角形，兩底角相等：$\angle OIB=\angle OBI$。因 $\overline{OI}=\overline{OC}$，同理 $\angle OIC=\angle OCI$。又因射線 $IO$ 在 $\angle BIC$ 內部，$\angle OIB+\angle OIC=\angle BIC=116°$，所以 $\angle OBI+\angle OCI=116°$。
4. 4

   拆出 ∠OBC

   因 $\overline{OB}=\overline{OC}$，$\triangle OBC$ 也是等腰三角形，設 $\angle OBC=\angle OCB=\theta$。由於 $O$ 在 $\overline{BC}$ 下方、$I$ 在上方，$\overline{BC}$ 把 $\angle OBI$ 分成兩塊：$\angle OBI=\angle OBC+\angle IBC=\theta+34°$；同理 $\angle OCI=\angle OCB+\angle ICB=\theta+30°$。代入上一步：$(\theta+34°)+(\theta+30°)=116°$，得 $2\theta=52°$，$\theta=26°$。
5. 5

   回到 △OBC 收尾

   在 $\triangle OBC$ 中，$\angle BOC=180°-\angle OBC-\angle OCB=180°-26°-26°=128°$。故選 (C)。

關鍵觀念：#內心 #外心 #角度計算

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