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111學年鷺江國中第3次段考數學 第8題 詳解

三家距離相等的相約地點 · 單選 · 題目出處：111 學年度第 1 學期第 3 次定期評量 數學科（新北市立鷺江國民中學）

題目
學校舉辦九年級班際籃球比賽，小洸為了加強球技，利用週日約謙謙、旭旭一同去練球，他們相約的地點與三人的家距離要相等，若將三人的家當作△ABC\triangle ABC的三個頂點，則相約處應該在△ABC\triangle ABC的何處？
(A) 重心
(B) 內心
(C) 外心
(D) 只要在△ABC\triangle ABC的內部即可

答案(C)看逐步解析 ↓

逐步解析

  1. 1

    把情境翻成數學

    三個人的家是 △ABC\triangle ABC 的三個頂點，「相約的地點到三人的家距離要相等」翻成數學就是：要找一個點 PP，使得 PA‾=PB‾=PC‾\overline{PA}=\overline{PB}=\overline{PC}。也就是說，PP 到三個頂點等距。
  2. 2

    四個選項各管什麼

    重心是三條中線的交點，是木板的平衡點，到三頂點的距離一般並不相等。內心是三條角平分線的交點，它等距的對象是「三邊」，所以能畫出內切圓。外心是三邊中垂線的交點，它等距的對象才是「三頂點」，所以能畫出通過三頂點的外接圓。
  3. 3

    挑出符合的點

    需要的是到三個頂點等距，正好就是外心的性質。至於 (D)「只要在 △ABC\triangle ABC 的內部即可」：三角形內部有無限多個點，隨便挑一點到三頂點的距離通常都不相等，符合條件的其實只有外心那一個位置。所以相約處應該在 △ABC\triangle ABC 的外心，故選 (C)。
答案
(C)

關鍵觀念：#外心 #生活情境

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常見卡點
內心和外心最常被調換，分辨的訣竅是看「等距的對象是誰」：外心到三個頂點等距，所以畫得出通過三頂點的外接圓；內心到三邊等距，所以畫得出和三邊相切的內切圓。這題的三個家是頂點，要的就是外心。另外提醒一點：外心不一定在三角形內部，若三個家的位置排成一個鈍角三角形，相約處會落在三角形外面，但「到三家等距」仍然成立。

還是卡住嗎？

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