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111學年鷺江國中第2次段考數學 第14題 詳解

直角三角形斜邊中垂線求 CD 長 · 單選 · 題目出處：111 學年度第 2 學期第 2 次定期評量 數學科（新北市立鷺江國民中學）

題目
如右圖，△ABC\triangle ABC為直角三角形，∠C=90°\angle C=90°，LL為AB‾\overline{AB}的中垂線。若AB‾=40\overline{AB}=40，BC‾=24\overline{BC}=24，則CD‾\overline{CD}的長度為何？
(A) 78\dfrac{7}{8}
(B) 77
(C) 88
(D) 99
直角三角形 $ABC$：直角頂點 $C$ 在右下、$B$ 在左下、$A$ 在右上，$\overline{AC}$ 是右側那條鉛直邊。$E$ 在 $\overline{AB}$ 上，$E$ 處有直角記號，且 $\overline{AE}$ 與 $\overline{BE}$ 各標一個雙撇記號（$E$ 是 $\overline{AB}$ 中點、直線 $L$ 是 $\overline{AB}$ 的中垂線）。直線 $L$ 過 $E$ 往右下延伸，與 $\overline{AC}$ 交於 $D$（$D$ 在 $C$ 的正上方、靠近 $C$），圖上另畫出 $\overline{BD}$；$L$ 的標籤在該直線的右下端。（不是「$L$ 交 $\overline{BC}$ 的延長線於 $D$、並畫 $\overline{AD}$」——照那種讀法會解出 $\overline{CD}=\dfrac{28}{3}$，不在選項中；正確讀法解得 $7$，與答案相符。）

答案(B)看逐步解析 ↓

逐步解析

  1. 1

    先看清楚 D 在哪裡

    LL 是 AB‾\overline{AB} 的中垂線，垂直平分 AB‾\overline{AB} 於 EE；這條線往右下切過去，和 AC‾\overline{AC} 交於 DD，圖上另外連了 BD‾\overline{BD}。所以 DD 是 AC‾\overline{AC} 上的點。
  2. 2

    用畢氏定理補出 AC

    ∠C=90°\angle C=90°，AB‾=40\overline{AB}=40 是斜邊、BC‾=24\overline{BC}=24 是一股，所以 AC‾2=402−242=1600−576=1024\overline{AC}^2=40^2-24^2=1600-576=1024，AC‾=32\overline{AC}=32。
  3. 3

    把中垂線翻成等式

    DD 在 AB‾\overline{AB} 的中垂線上，所以 DD 到 AA、BB 等距：DA‾=DB‾\overline{DA}=\overline{DB}。設 CD‾=x\overline{CD}=x，則 DA‾=AC‾−CD‾=32−x\overline{DA}=\overline{AC}-\overline{CD}=32-x，因此 DB‾=32−x\overline{DB}=32-x。
  4. 4

    在直角三角形 BCD 裡列式

    ∠C=90°\angle C=90°，△BCD\triangle BCD 也是直角三角形，兩股是 BC‾=24\overline{BC}=24 與 CD‾=x\overline{CD}=x，斜邊是 BD‾=32−x\overline{BD}=32-x。畢氏定理：242+x2=(32−x)224^2+x^2=(32-x)^2。
  5. 5

    解方程式

    展開：576+x2=1024−64x+x2576+x^2=1024-64x+x^2。兩邊消去 x2x^2：576=1024−64x576=1024-64x，得 64x=44864x=448，x=7x=7。所以 CD‾=7\overline{CD}=7。故選 (B)。
答案
(B)

關鍵觀念：#中垂線性質 #直角三角形 #畢氏定理

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常見卡點
這題卡關通常卡在兩個地方。第一是忘了先用畢氏定理把 AC‾=32\overline{AC}=32 補出來，只拿著 4040 和 2424 硬湊。第二是沒把「LL 是 AB‾\overline{AB} 的中垂線」翻成 DA‾=DB‾\overline{DA}=\overline{DB}——中垂線的全部價值就在這一句，翻譯出來之後，DB‾\overline{DB} 就能寫成 32−x32-x，剩下的只是在 △BCD\triangle BCD 裡用一次畢氏定理。另外別把 DD 當成 AC‾\overline{AC} 的中點，圖上 DD 明顯偏向 CC 那一側。

還是卡住嗎？

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