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111學年鷺江國中第2次段考數學 第15題 詳解

角平分線兩垂足求三角形面積 · 單選 · 題目出處：111 學年度第 2 學期第 2 次定期評量 數學科（新北市立鷺江國民中學）

題目
如右圖，△ABC\triangle ABC中，AD‾\overline{AD}平分∠BAC\angle BAC，DE‾⊥AB‾\overline{DE}\perp\overline{AB}，DF‾⊥AC‾\overline{DF}\perp\overline{AC}。若AB‾=12\overline{AB}=12，AC‾=10\overline{AC}=10，DE‾=4\overline{DE}=4，則△ABC\triangle ABC的面積為多少？
(A) 3636
(B) 4040
(C) 4444
(D) 4848
一個三角形，頂點 $A$ 在上方、$B$ 在左下、$C$ 在右下；$\overline{BC}$ 上有一點 $D$，由 $A$ 到 $D$ 畫有一條線段（角平分線，$A$ 處以小圈記號標示被平分的兩角相等）；$\overline{AB}$ 上有一點 $E$，$D$ 到 $E$ 畫有垂直線（標直角記號）；$\overline{AC}$ 上有一點 $F$，$D$ 到 $F$ 畫有垂直線（標直角記號）。

答案(C)看逐步解析 ↓

逐步解析

  1. 1

    用角平分線的距離性質

    AD‾\overline{AD} 平分 ∠BAC\angle BAC，而 DE‾⊥AB‾\overline{DE}\perp\overline{AB}、DF‾⊥AC‾\overline{DF}\perp\overline{AC}，所以 DE‾\overline{DE}、DF‾\overline{DF} 就是 DD 到角的兩邊的距離。角平分線上的點到兩邊等距，因此 DF‾=DE‾=4\overline{DF}=\overline{DE}=4。
  2. 2

    把三角形切成兩塊

    DD 在 BC‾\overline{BC} 上，AD‾\overline{AD} 把 △ABC\triangle ABC 切成 △ABD\triangle ABD 與 △ACD\triangle ACD 兩塊，兩塊面積相加就是 △ABC\triangle ABC。
  3. 3

    分別算兩塊

    △ABD\triangle ABD 以 AB‾\overline{AB} 為底、DE‾\overline{DE} 為高：12×12×4=24\frac{1}{2}\times12\times4=24。△ACD\triangle ACD 以 AC‾\overline{AC} 為底、DF‾\overline{DF} 為高：12×10×4=20\frac{1}{2}\times10\times4=20。
  4. 4

    相加收尾

    △ABC\triangle ABC 的面積 =24+20=44=24+20=44。也可以合起來寫成 12×(12+10)×4=44\frac{1}{2}\times(12+10)\times4=44。故選 (C)。
答案
(C)

關鍵觀念：#角平分線性質 #角平分線到兩邊距離相等 #三角形面積

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常見卡點
最常見的錯是誤以為角平分線 AD‾\overline{AD} 會把 △ABC\triangle ABC 分成面積相等的兩半：算出 △ABD=12×12×4=24\triangle ABD=\frac{1}{2}\times12\times4=24 之後直接乘 22 得 4848，選 (D)。角平分線平分的是角度，不是面積；這兩塊的高（DE‾\overline{DE} 與 DF‾\overline{DF}）確實相等，但底一個是 1212、一個是 1010，面積比是 12:1012:10，必須分開算再相加。

還是卡住嗎？

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