112學年鷺江國中第2次段考數學 第3題 詳解

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逐步解析

1. 1

   讀出兩組作圖痕跡

   $A$ 點附近的弧與交叉記號，說明 $\overline{AE}$ 是 $\angle BAC$ 的角平分線，因此 $\angle BAE=\angle CAE$。$\overline{AB}$ 上以 $A$、$B$ 為圓心畫出的兩組弧上下相交，定出通過 $D$ 的那條線，那是 $\overline{AB}$ 的中垂線，$D$ 為 $\overline{AB}$ 的中點。$P$ 就是這兩條線的交點。
2. 2

   用中垂線造出等腰

   $P$ 在 $\overline{AB}$ 的中垂線上，中垂線上的點到線段兩端等距離，所以 $\overline{PA}=\overline{PB}$。於是 $\triangle PAB$ 是等腰三角形，兩底角相等：$\angle PAB=\angle PBA$。
3. 3

   接上角平分線

   $P$ 同時在 $\angle BAC$ 的角平分線上，所以 $\angle PAB=\angle PAC$，也就是 $\angle PAB=\angle CAP$。把上一步的 $\angle PBA=\angle PAB$ 接過來，立刻得到 $\angle PBA=\angle CAP$，(D) 成立。
4. 4

   檢查另外三個敘述

   (A) $\triangle CAE$ 與 $\triangle BAE$ 分別以 $\overline{CE}$、$\overline{EB}$ 為底，從 $A$ 落下的高相同，面積比等於 $\overline{CE}:\overline{EB}$；但 $\overline{AE}$ 是角平分線不是中線，$E$ 未必是 $\overline{BC}$ 的中點，兩塊面積不一定相等。(B) 角平分線同時垂直於對邊，只有 $\overline{AB}=\overline{AC}$ 的等腰三角形才會發生，一般三角形不成立。(C) $\overline{PD}$ 是 $P$ 到 $\overline{AB}$ 的垂直距離；$P$ 在角平分線上只保證它到 $\overline{AB}$ 與到 $\overline{AC}$ 的垂直距離相等，而 $\overline{PC}$ 是 $P$ 到 $C$ 這個「點」的距離，不是到 $\overline{AC}$ 的垂直距離，兩者不能畫等號。
5. 5

   下結論

   只有 (D) 的每一步推理都有作圖痕跡撐著，故選 (D)。

關鍵觀念：#角平分線 #中垂線 #尺規作圖

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