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112學年鷺江國中第2次段考數學 第5題 詳解

由等距條件找內部點的作圖方法 · 單選 · 題目出處：112 學年度第 2 學期第 2 次定期評量 數學科（新北市立鷺江國民中學）

題目
如(圖五)，△ABC\triangle ABC 中，AC‾>BC‾>AB‾\overline{AC}>\overline{BC}>\overline{AB}，在 △ABC\triangle ABC 內找一點 PP，使得 PP 點到 BC‾\overline{BC}、AB‾\overline{AB} 等距離，且 PP 點到 BB、CC 兩點也等距離，試問可以用下列哪一種方法找到 PP 點？
(A) 作 BC‾\overline{BC} 與 AB‾\overline{AB} 垂直平分線的交點
(B) 作 ∠A\angle A 與 ∠B\angle B 角平分線的交點
(C) 作 ∠B\angle B 的角平分線與 BC‾\overline{BC} 垂直平分線的交點
(D) 作 ∠C\angle C 的角平分線與 AB‾\overline{AB} 垂直平分線的交點
三角形ABC，A在上方頂點，C在左下角，B在右下角，未標示任何角度或邊長數值。

答案(C)看逐步解析 ↓

逐步解析

  1. 1

    把兩個條件分開讀

    條件一：PP 到 BC‾\overline{BC}、AB‾\overline{AB} 等距離。這是「到兩條邊等距離」，這種點落在這兩條邊所夾的角的角平分線上。條件二：PP 到 BB、CC 兩點等距離。這是「到兩個點等距離」，這種點落在 BC‾\overline{BC} 的垂直平分線上。
  2. 2

    認出是哪一個角

    AB‾\overline{AB} 與 BC‾\overline{BC} 的公共端點是 BB，這兩條邊夾出來的角就是 ∠B\angle B。所以滿足條件一的點，落在 ∠B\angle B 的角平分線上。
  3. 3

    兩條線一交就是 P

    同時滿足兩個條件的點，就是 ∠B\angle B 的角平分線與 BC‾\overline{BC} 垂直平分線的交點。
  4. 4

    排除其他三種作法

    (A) 兩條垂直平分線的交點到 AA、BB、CC 三個頂點等距離，管的是「到頂點」，沒有處理「到兩邊等距離」。(B) ∠A\angle A 與 ∠B\angle B 角平分線的交點到三條邊等距離，管的全是「到邊」，給不出「到 BB、CC 等距離」。(D) ∠C\angle C 的角平分線代表到 CA‾\overline{CA}、CB‾\overline{CB} 等距離，AB‾\overline{AB} 的垂直平分線代表到 AA、BB 等距離，兩個條件和題目要求的都不一樣。
  5. 5

    下結論

    要作的是 ∠B\angle B 的角平分線與 BC‾\overline{BC} 垂直平分線的交點，故選 (C)。
答案
(C)

關鍵觀念：#角平分線性質 #中垂線性質 #尺規作圖

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常見卡點
「等距離」有兩種，工具完全不同：到兩個「點」等距離用垂直平分線，到兩條「邊」等距離用角平分線。最常見的錯誤是看到 BC‾\overline{BC}、AB‾\overline{AB} 這兩個線段名稱，就反射性地去作它們的垂直平分線而選 (A)。訣竅是：條件講「到某條邊的距離」就用角平分線，講到大寫字母代表的點才用垂直平分線。

還是卡住嗎？

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