112學年鷺江國中第2學期第3次段考數學 第9題 詳解

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逐步解析

1. 1

   把條件寫成式子

   設小圓面積為 $S_1$、大圓面積為 $S_2$。「小圓面積的 $\frac{1}{4}$ 與大圓面積的 $\frac{1}{9}$ 相等」就是 $\frac{S_1}{4}=\frac{S_2}{9}$。
2. 2

   求面積比

   由 $\frac{S_1}{4}=\frac{S_2}{9}$ 交叉相乘得 $9S_1=4S_2$，所以 $S_1:S_2=4:9$。
3. 3

   面積比換成半徑比

   圓面積是 $\pi r^{2}$，所以 $\frac{S_1}{S_2}=\frac{\pi r_1^{2}}{\pi r_2^{2}}=\frac{r_1^{2}}{r_2^{2}}=\frac{4}{9}$。也就是半徑平方的比是 $4:9$。再找出平方後等於 $4$ 與 $9$ 的正數：$2^{2}=4$、$3^{2}=9$，所以半徑比是 $2:3$。
4. 4

   驗算一次

   取 $r_1=2$、$r_2=3$，則 $S_1=4\pi$、$S_2=9\pi$。$\frac{4\pi}{4}=\pi$，$\frac{9\pi}{9}=\pi$，兩者確實相等，完全符合題意。
5. 5

   看誘答在哪

   算到 $S_1:S_2=4:9$ 就停下來作答會選到 (A)，但 $4:9$ 是面積比不是半徑比，兩者差一個平方。另外題目問的是「小圓半徑比大圓半徑」，小的要放前面；順序寫反會得到 $3:2$，落在 (D)。
6. 6

   下結論

   小圓半徑與大圓半徑的比為 $2:3$，故選 (C)。

關鍵觀念：#比與比例式 #面積比

同主題一起複習：平面幾何 → 比與比例 →